ハイレベル文章題－２ 線分図を利用する文章題（Ｌ）
次に線分図を利用して解く文章題を練習してみましょう。
線分図を利用して解く文章題の代表的なものは、割合の３用法に関する問題です。まず割合の３用法に関する問題を解いて線分図の使い方に慣れておきましょう。
割合の３用法に関する問題の解き方は、こちらで詳しく説明してありますので、一度よく読んで見て下さい。
割合の第１用法 L111.pdf へのリンク
割合の第２用法 L112.pdf へのリンク
割合の第３用法 L113.pdf へのリンク
割合の３用法になれてきたら、いよいよ本格的に線分図を利用して解く文章題にチャレンジしてみましょう。
まずいくつかの基本的なパターンを紹介します。
Ｌ１２－割合の３用法（応用編） L12.pdf へのリンク
まずはじめに割合の３用法を少し複雑にしたタイプの問題を練習しましょう。割合を線分図にして、どこにどの数値を書き込むかをよく考えないと正解できないタイプの問題です（Ｌ１２）。
【問題１】
５％＝０．０５＝５／１００＝１／２０になります。
１／２０は、２０個に分けたうちの１個分を表しているので、まず線を引いて２０個に分けます。
実際に２０個に分けるのは大変なので、この線分の長さに⑳と書いて２０個に分けた事にしておきましょう。
これまでの問題であれば、こうして２０個に分けたうちの１個分を求めればよかったのですが、この問題の場合２０個に分けたうちの１個分を消費税として、「多くとられる」ため、最初に引いた線から、１個分だけはみ出して書きたさないといけません
こうしてはみ出した１個分を含んだ計２１個分が実際に支払う金額の２１０円になります。
従って答えは、２１０÷２１＝１０（円）になります。
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【問題２】
２５％＝０．２５＝２５／１００＝１／４です。
これを線分図にしてその中に９００円を書き入れます。
標準レベルの問題であれば、１／４ですから、４つに分けたうちの１つ分に９００円と書くところですが、この問題の場合、１／４は割引分です。９００円は実際に買った値段ですから、４つに分けたうちの３つ分にあたる場所に書き込まなければいけません。
従って答えは、９００÷３×４＝１２００（円）になります。
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【問題３】
５０００円と７０００円ですから、これを分数にしてみます。
分数にしただけだとよくわからないので、さらに線分図にしてみましょう
５０００／７０００＝５／７としたときには、最初に引いた線を７個に分け、７個分を今年の貯金、５個分を昨年の貯金にします。
７０００／５０００＝７／５としたときには、最初に引いた線を５個に分け、２つ分書きたして７個にし、７個分を今年の貯金、５個分を昨年の貯金にします。
どちらで書いても同じ線分図になります。
増えたのは２個分ですから、１年間で５個に分けたうちの２個分２／５増えたことになります。
２／５＝０．４＝４０％になります。
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単純な「割合の３用法」の問題と比べ、少し構造が複雑になっているのがわかりますか？
とは言っても、基本的な解き方は「割合の３用法」とかわりありません。少し練習すれば簡単に解けるようになると思いますよ。（とは言っても、通常学校で勉強するレベルと比較するとかなりの難しさだとは思いますが…）
Ｌ１3－割合の３用法（はんぱのある問題） L13.pdf へのリンク
次に、はんぱのあるタイプの問題を練習してみましょう（Ｌ１３）。
【問題１】
３０％＝０．３＝３／１０になります。
３／１０は、１０個に分けたうちの３個分を表しているので、まず線を引いて１０個に分けます。
１０００円を１０個に分けたうちの３個分は
１０００÷１０×３＝３００（円）になります。
今までの問題であれば、ここで計算が終わっていたのですが、この問題の場合まだ続きがあります。
ケーキの金額はこれよりも５０円多いので、答えは３００＋５０＝３５０（円）になります。
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【問題２】
２５％＝０．２５＝２５／１００＝１／４です。
まずこれを線分図にします。
ケーキの値段は４つに分けたうちの１つ分よりも２０円少ないわけですから、４分の１から左側に２０円分だけ移動した場所が、ケーキの値段＝１８０円になります。
この図を完成させてみると、４分の１が、
１８０＋２０＝２００（円）であることがわかります。
従って答えは、２００×４＝８００（円）になります。
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【問題１】のレベルであれば、わざわざ図をかかなくても解けるかもしれません。だけど【問題２】のレベルを図をかかないで確実に正解するのはちょっと難しいのではないかと思います。
こうして図をかきながら問題を解く練習をすれば、みなさんの算数（数学）の学力は確実に向上すると思いますよ。
Ｌ２１－２段の線分図の問題 L21.pdf へのリンク
ここからはいよいよ線分図の応用の問題にチャレンジしてみましょう。今日はまず割合の計算を２度使う問題を練習します（Ｌ２１）。
【問題１】
２５％＝０．２５＝１／４になります。
まず１／４を線分図に表します。
ケーキの値段は全体を４個に分けたうちの１個分ですから、３個分が残ったことになります。
ジュースを買ったのは「残り」の４０％（２／５）ですから、この３個分をさらに５個に分ける必要があります。
すでに３つに分けてあるものを５つに分けるのは難しいので、同じ長さを下側にとってそれを５つに分けましょう。
ジュースの値段はそのうちの２個分で、３個分が最後に残った４５０円になります。
下側に書いた線全体の長さは
４５０÷３×５＝７５０（円）になります。
これが上側の線の３つ分の長さになりますから、上側の線に７５０円をかきいれてみましょう。
３つ分が７５０円ですから、上側の線全体は、
７５０÷３×４＝１０００（円）
これがはじめに持っていたお金になります。
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【問題２】
基本的には【問題１】と同じですが、ワンパターンにならないように、数字を書き入れたり、求める場所を変えてあります。
６０％＝０．６＝３／５
５つに分けたうちの３つ分が貯金です。残り２つ分を下側に引き、３つに分けます。
３つに分けたうちの１つ分が本の値段で、これが１８００円です。
下側に書いた線全体の長さは
１８００÷１×３＝５４００（円）になります。
これを上側の線の２つ分にかき込みます。求めたいのは上側の線の３つ分ですから、
５４００÷２×３＝８１００（円）
これが、Ａ君の貯金になります。
Ｌ２２－２段ではんぱのあるの線分図の問題 L22.pdf へのリンク
Ｌ１３でははんぱのある割合の問題を線分図を利用して解く練習を、Ｌ２１では割合の計算を２度使う問題を練習しました。
今回勉強するＬ２２は、Ｌ１３とＬ２１をあわせた問題になります。「割合の計算を２回使う問題ではんぱのある問題」です。
【問題１】
まず１／３を線分図に表します。兄が取ったのはこれより２００円多いので、１／３と２００をかき入れ、残った長さを下側にとります。
私の取ったのはその６０％（３／５）ですから、これを５つに分けます。弟の取り分は残りの２つ分なので、２つ分を１１２０円にします。
下側に書いた線全体の長さは１１２０÷２×５＝２８００（円）になります。
これを上側の線にかき入れます。この２８００と先ほどかいた２００をあわせた長さが上側の線を３つに分けたうちの２つ分の長さになります。
２００＋２８００＝３０００(円) これが２／３の長さになりますから、上側の線全体の長さは、
３０００÷２×３＝４５００（円）
これがお父さんにもらったおこづかいになります。
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【問題２】
基本的には【問題１】と同じですが、上側にも下側にもはんぱがある上に、ワンパターンにならないような工夫がしてあります。
またこの問題では長さを正確にかくのが難しいので、実際の長さとは少し長さを変えてかく練習もしてみましょう。
７５％＝０．７５＝３／４
３／４よりも５００円多く貯金していますが、実際に４つに分けたうちの３つ分よりも５００円分長めにとると、残りの長さが短くなりすぎて下側に線が引きにくくなってしまいます。
従って３／４は短めにとって、忘れないように３／４とかいておきましょう。これより５００円分長くとって、残りと同じ長さを下側にかきます。
３０％＝０．３＝３／１０ ですが、これも１０個に分けるのは大変なので、適当な長さを３／１０にします。
本の値段はそれよりも３００円少ないので、３／１０よりも３００円分短い長さを９００円とします。
これで図は完成です。図を見ながら計算を進めていきましょう。
９００＋３００＝１２００（円） この長さが下側の線の３／１０になります。
下側の線全体の長さは、
１２００÷３×１０＝４０００（円） になります。これを上側の線の残りの部分にかきこみます。
５００＋４０００＝４５００（円） これが上側の線の１／４ですね。
上側の線全体の長さは、
４５００÷１×４＝１８０００（円）になります。
貯金したのは、上側の線の３／４より５００円多い金額ですから、
１８０００÷４×３＋５００＝１４０００（円）になります。
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Ｌ２２の問題の中には計算を５回しないと答えが出ない問題もあります。さすがにこのレベルになると図を見ないで正しい順番で立式をするのはかなり難しくなります。
しかし、正確に図をかいてそれを見ながら順序だてて立式をすれば、小学生であっても解けない問題ではないと思います。
Ｌ３１１－２つの量の和から求める問題 L311.pdf へのリンク
ここで学習するＬ３１１は２つまたは３つの量の和から、１つ分の量を求める問題です。
線分を縦にそろえて２本または３本かいて解くので、図的にはＬ２のシリーズに似ています。Ｌ２がマスターできていれば簡単に解けると思います。
【問題１】
まず８０％を分数にしましょう。
８０％＝０．８＝８／１０＝４／５ になります。
Ｂ君の貯金はＡ君の貯金の４／５ですから、Ａ君の長さを５等分したうちの４個分をＡ君の線分の下側にかきます。
同じ長さがＡ君の方は５個分、Ｂ君の方は４個分、あわせて５＋４＝９個分あります。
この９個分の合計が１８０００円ですから、１個分の長さは、
１８０００÷９＝２０００（円）になります。
Ｂ君の貯金はこの長さが４個分ですから、
２０００×４＝８０００（円） になります。
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【問題２】
この問題ではＡ君の年令が基準になっているので、まず真ん中にＡ君の線分を引きます。
妹の年令はＡ君の年令の半分なので、Ａ君の年令を２等分してその１つ分をＡ君の上側にかきます。
お父さんの年令はＡ君の年令の３倍ですから、下側にＡ君の線分の３つ分をかきましょう。
Ａ君の線分はすでに２等分してあるので、下側に書いた線分は２等分したものが３個分 → ２×３＝６（個）分になります。
これで図は完成です。
図を見ながら考えましょう。同じ長さが、
妹は１個分
Ａ君は２個分
お父さんは６個分
ですから、全部あわせて
１＋２＋６＝９個分になります。
これが６３才になりますから、この長さ１個分は、
６３÷９＝７（才）になります。
お父さんの年令は、この長さ６個分なので、
７×６＝４２（才）になります。
Ｌ３１２－２つの量の和から求める問題（はんぱ有り） L312.pdf へのリンク
ここで学習するＬ３１２は前回学習したＬ３１１（２つまたは３つの量の和から、１つ分の量を求める問題）にはんぱがでる問題です。
【問題１】
まず弟の長さを線分にし、その３分の１よりも８少ない長さをＡさんの長さにします。
Ａさんと弟をあわせると５６枚ですから、この２本の線分の右側に忘れないように５６枚と書いておきましょう。
ここまでかいて図を見て考えてみましょう。
Ａさんの線分の８枚少ないってのがこの問題を解くためには大きな障害になっていることに気づきますか？
これさえなければ、５６÷４で簡単に答えが出ます。ところがこの８枚のせいで上のような計算ができないのです。
だったらこの８枚、あることにしちゃいましょう。でもそうすると１か所だけ数字が変わってしまうところがあります。
そうです！Ａさんと弟をあわせた５６枚のところです。８枚増えるのですからここは、
５６＋８＝６４（枚）になりますね。
こうしておけば、
６４÷４＝１６（枚）でＡさんの長さを出すことができます。
ただし、実際のＡさんの枚数はこれよりも８枚少ないはずなので、忘れないように８枚引いておきましょう。
１６－８＝８（枚）これでできました。
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【問題２】
線分が３本になった分、【問題１】よりは少し複雑になりましたが、恐れることはありません。図をかきながら考えればきっとできると思いますよ。
２０％＝１／５
まず、Ａさんの線分を適当な長さにして、これを５等分します。
Ｂさんの長さを５等分した３個分より５ｃｍ短くし、
Ｃさんの長さは５等分した１個分より５０ｃｍ長くします。
この３本をあわせると、
３．６ｍ＝３６０ｃｍなので忘れないように３本の線分の右側に
かいておきましょう。
Ｂさんの５ｃｍと、Ｃさんの５０ｃｍがこの問題を解くための障害となります。ですからＢさんが短い分の５ｃｍはあったことにＣさんが長い分の５０ｃｍはなかったことにしちゃいましょう。
すると３人の合計の長さは、
３６０＋５－５０＝３１５（ｃｍ）になります。
これを５＋３＋１＝９でわってやれば１個分がでます。
３１５÷９＝３５（ｃｍ）
Ｃさんは実際には１個分より５０ｃｍ長いので、
３５＋５０＝８５（ｃｍ）できました。
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少し複雑になりましたが、図を見ながら順番に式を立てていけば正解にたどりつくことは決して難しいことではないと思います。
Ｌ３２１－２つの量の差からを求める問題 L321.pdf へのリンク
ここで学習するＬ３２１は、Ｌ３１１（２つまたは３つの量の和から、１つ分の量を求める問題）とほとんど同じパターンなので、Ｌ３１１が理解できていれば簡単だと思います。
Ｌ３１１は２本の線分の長さの和から１個分の長さを計算する問題でしたが、このＬ３２１は２本の線分の長さの差から１個分の長さを計算する問題になっています。
【問題１】
６０％＝３／５なので、
まずＡ君の長さを線分にし、その５分の３の長さをＢ君の長さにします。
Ａ君とＢ君の長さの差が８０００円なので、Ａ君の線分上、Ｂ君よりも長くなっているところに８０００円をかきこみます。
図を見ると、２個分が８０００円になっていることがわかります。
１個分は８０００÷２＝４０００（円）
Ｂ君は３個分ですから、
４０００×３＝１２０００（円）できました。
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【問題２】
８０％＝４／５，４０％＝２／５
まず、Ｂさんの線分を適当な長さにして、これを５等分します。
Ａさんの長さを５等分した４個分に、
Ｃさんの長さは５等分した２個分にします。
ＡさんとＣさんの長さの差のところに２０ｃｍをかきこみます。
すると、２個分で２０ｃｍになるのがわかりますね。
１個分は２０÷２＝１０（ｃｍ）
分ける前の長さは、４＋５＋２＝１１個分ですから、
１０×１１＝１１０（ｃｍ）＝１．１（ｍ）になります。
Ｌ３２２－２つ量の差から求める問題（はんぱ有り） L322.pdf へのリンク
ここではＬ３２２について学習しましょう。
前回学習したＬ３２１（２つまたは３つの量の差から、１つ分の量を求める問題）の、はんぱのあるタイプの問題です。
【問題１】
２５％＝１／４なので、
まずお父さんの長さを線分にし、その４分の１の長さよりも８才分だけ長い線分をその下にかいてＡ君の長さにします。
父とＡ君の年令の差が３１才なので、父の線分上、Ａ君よりも長くなっているところに３１才をかきこみます。
図を見ると、３個分が
８＋３１＝３９（才）
になっていることがわかりますね！
１個分は３９÷３＝１３（才）
Ａ君は１個分よりも８才多いのですから、
１３＋８＝２１（才）できました。
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【問題２】
９０％＝９／１０，１２０％＝１２／１０
まず、１月の線分を適当な長さに引きます。これを１０等分するのは大変なので、とりあえずこの線分の上側に⑩とかいておきましょう。
２月の線分はこれより短く引きます。９／１０より３点分低いので途中からは点線にしておいて、全体を⑨、点線部分を３としておきましょう。
３月の線分は一番長くして、途中までを⑫そこから５だけ長くします。
２月と３月の線分の差にあたるところには２６をかきこみます。
これで問題文から読み取れる情報はすべてかきこんだことになります。
⑨と⑫の差の部分に③をかきこむと、この長さは
２６－３－５＝１８
で計算できることがわかります。
③つ分の長さが１８なので、①つ分は、
１８÷３＝６（点）になります。
３月の得点は⑫個分よりも５点高いので、
６×１２＋５＝７７（点）のようにして計算することができます。
Ｌ３３－２つの量の和と差から求める問題 L33.pdf へのリンク
ここで学習するＬ３３は、２つ（以上）の異なった数字の和と差から、それぞれの数字を求める計算で「和差算」と呼ばれています。
すでにＬ３２１でこれよりも複雑な問題も練習しているので、Ｌ３２１が理解できていれば、それほど難しくないと思います。
【問題１】
算数を国語よりも少し長くして、その差の部分に１０点を、算数と国語の線分の右側に合計の１６０点をかきこみます。
線分が２本あるので、もしも同じ長さであれば２で割れば答えを求める事ができます。ところがこの２本の線分は長さが違います。
２で割って答えを求めるためには、この２本の長さをそろえる必要があります。
求めたいのは算数の点数ですから、国語の長さを算数の長さと同じになるようにのばしてみましょう。こうすると当然合計点数が変わってきます。合計点数は、
１６０＋１０＝１７０（点）
となります。
これを２で割れば算数の点数を求めることができます。
１７０÷２＝８５（点）できました。
ちなみに国語の点数を求めたいときは、算数の１０点分を切って捨ててしまえば、国語の長さにそろえることができます。
１６０－１０＝１５０（点）
１５０÷ ２＝ ７５（点）
のようにします。
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【問題２】
１０円玉、５円玉、１円玉の３本の線分をひきます。
１０円玉の線分は５円玉の線分より短くし、その差の部分に４０、１円玉の線分は５円玉の線分より長くし、その差の部分に９０をかきこみます。
３本の線分の右側に合計の３２０枚をかきましょう。
求めたいのは５円玉ですから、全て５円玉の長さにあわせます。
まず１０円玉の線分を４０のばして、１円玉の枚数から９０を切り取って捨てちゃいます。すると合計は、
３２０＋４０－９０＝２７０（枚）
になりますね。３本の合計が２７０ですから、１本分は、
２７０÷３＝９０（枚）
これが、５円玉の枚数です。
求めたいのは５円玉だけの金額ですから、
５×９０＝４５０（円）できました。
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こちらに体験版を用意しました。一度チャレンジしてみて下さい。
体験版プリント L-SAMPLE.pdf へのリンク 体験版プリント解答 L-SAMPLEA.pdf へのリンク
自信がついたら、Ｌミックスにも挑戦してみましょう。
