図形の問題を得意にしたい… 　 　図形の問題は難しい！ 　小学生や中学生で図形を苦手としている生徒はたくさんいますが、実は図形の応用問題は小学校で学習する項目の中で飛び抜けてハードルの高い問題なので、それは無理のないことなのです。 　図形の問題を難しくしている要素は３つあります。 　まず１つめは図形の問題を解くためにはさまざまな知識を知っている必要があることです。小学校の角度の問題を解くだけでも、「３６０°、１８０°、９０°の大きさ」「対頂角」「平行線と角度（同位角、錯角）」「多角形の内角の和」「二等辺三角形の性質」「正多角形の性質」は知っている必要がありますし、より応用的な問題まで解くことを考えれば「三角形の外角の定理」や「多角形の外角の和」、そのほかにも公式になっていない知識までおぼえておかないといけない知識はいくつもあります。これらをすべておぼえておいて使えるようしておく必要があることです。 　２つめは複雑な問題になれば、これらの知識の中からいくつかを選択して使う必要があることです。基本的に小学校で学ぶ文章題は、たし算、ひき算、かけ算、わり算のうちどれかひとつを使えば答えが出てしまう問題がほとんどで、しかもプリントのタイトルとかその直前に授業で勉強した範囲を思い出せば、なに算でとけばいいのかがほとんどわかってしまうことが多いのです。長い間こういった環境で勉強していると、問題の中からなに算かを読み取る習慣や能力が育たない可能性があります。図形の応用問題では問題の中から、どの知識が必要かを読み取る能力が要求されますし、問題が難しくなればいくつかの知識を２回、３回と組み合わせて解くことになりますから、ほとんど無限に近い組み合わせの中から正解を選び出す必要があります。これが図形の問題を難しくしている２番目の理由です。 　３つめはテキストや問題集にのっている模範解答にあります。ほとんどのテキストや問題集にのっている模範解答は、「この順番で解けば答えがでる」といったものです。多くの生徒は解説を読めばどうしてその答えが出たかについて理解はできます。しかしほとんどの解説は「その順番で解こうと思った理由」にはふれていません。ですから自分が解いた問題と同じ問題なら解けても、類似の問題でも多少パターンを変えられると対応はできなくなります。 　これら３つの原因で図形問題は非常にハードルが高くなっているのですが、残念ながら普通の小学校の授業ではこれらの問題点を意識的に無理なく解決するようなカリキュラムが組まれていません。ですからこれらのハードルをクリアできる生徒とできない生徒に自動的に分岐していってしまうのです。 どうすれば図形の問題が得意になるのか。 　図形の問題を得意にするためには、図形の問題を難しくしている３つの原因を克服する必要があります。 　まず１つめの知識の問題については、必要な知識を全ておぼえることによって克服可能です。ただし、これらの知識は教科書やテキストのいろいろな場所にばらばらに書いてあることが多いので忘れてしまった場合にはもう一度探し出すのが大変です。ですから必要な知識はカードか何かにまとめてとっておくとよいと思います。カードにしておくと復習したいときにもすぐにできます。 　２つめの問題点については、まず文章題を解き始めたときからできるだけなに算かを考えないと解けない文章題に取り組むこと、２回以上の計算が必要な文章題を数多く解くことで解決可能です。こういった文章題は市販のものから探すのがけっこう難しいのですが、「ミックス文章題」が前者を「ハイブリッド文章題」が後者をイメージして作られているので、ぜひ小学校の低学年の頃からこれらのプリントを使って練習して下さい。 　実際にこういった知識の検索は頭の中で行われているのですが、慣れないうちは知識をカードにしてこれをめくりながらどれを使うか考えるとよいでしょう。ここでまたカードが役立ちます。 　３つめの問題点については、まず模範解答をおぼえようとしないことです。多くの生徒は解き方について理解不能になると模範解答を丸暗記して何とかしようとしますが、こういった努力をしてはいけません。こうして得られた解法はその中にいろいろな知識や解法が詰め込まれたサイズの大きなものになります。そしてそれらの知識や解法の意味が十分理解できていなければ、それと同じ組み合わせ、同じ順番でなければ使えない汎用性の低いものになります。こうした汎用性の低い解法を記憶する場合、ほとんど問題の数と同じだけの解法を暗記しなければならないことになります。こうしたアプローチはいずれ記憶しきれなくなって破綻することが多いのです。 　算数や数学の得意な生徒は頭の中にそんなに大きなサイズのファイルを持っていません。もっとファイルのサイズを小さくした方が汎用性が高まっていろいろな組み合わせた可能だからです。おそらく大きめの単語カードに書き込むことができるくらいのサイズが最適ではないでしょうか。 そして角度問題プリントが作られた！ 　ここにあげられている３つの問題点を解決するためにこれから紹介する角度問題プリントは作られました。まず角度の問題を解くために必要な知識をまとめたプリントとさらにその知識を小さなサイズにまとめたカードがあります。これらのカードを利用して問題を解いて下さい。 　問題はカードの利用に慣れるための「トレーニングモード」と、カードの使い方をマスターした後の「問題編」に分かれていて、使用するカードのレベルや枚数別に「初級」「中級」「上級」の３つのレベルに分けられています。 　解答には解説がついていません。解説のかわりにどのカードを利用すれば解けるかが書いてありますので、そのカードをどのように使えば解けるのか考えてみましょう。 　このカードの知識のサイズが、算数や数学の得意な生徒が頭に持っているファイルのサイズです。あとはその場でどの組み合わせを使うかを考える。これこそが図形の問題を上手に解くためのポイントです。 　このように知識を小さめのサイズにして組み合わせを考えることは、角度問題以外の図形問題や難易度の高い文章題を解くために使う方法と共通です。ですからまず角度の問題で練習することは、その他の図形問題や難易度の高い文章題を解くときにも必ず役立ちます。算数や数学を得意科目にするためにぜひ練習してみて下さい。 　そして図形問題と解くためのコツをもうひとつだけ。それは、思考を往復させることです。たてに１０本線がひいてあって、横には適当に線が入っているあみだくじを考えてみましょう。縦の線の上側にＡ〜Ｊを順番に、下側にア〜コを順番に書き込んでみます。 【問題１】◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇ 　Ａからスタートしたときア〜コのどこにたどり着きますか。 ◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇ 　実際にどこに横線を入れたかによって、答えは変わってきますが、Ａからあみだを順にたどっていけば、簡単に正解にたどり着けると思います。実は小学校の算数の問題のほとんどがこのレベルです。ですからこのレベルの問題であれば、問題文の数字からていねいに計算を重ねていけば正解にたどり着くことができます。 【問題２】◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇ 　Ａ〜Ｊのどこからスタートしたときアにたどり着きますか。 ◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇ 　Ａ〜Ｊのすべてについて、【問題１】のようにたどっていけばいずれ正解にたどり着きます。だけどみなさんはこんな解き方はしないでしょ。アから逆にたどっていけば、Ａ〜Ｊのどこかにたどり着きます。そこからもう一度たどっていくと必ずアに戻ってくるはずです。 　実は図形の問題で特に複雑な問題を解くときにはこれと同じ解き方をすることが多いのです。　例えば角度の問題であれば、まず求めなければならない角度からスタートして、ここがわかれば解けるのになあって順番に考えて、あらかじめ問題に書いてある角度までたどり着く。そこからもう一度逆にたどって答えを出すわけです。これが思考を往復させるということです。 　図形の問題はあみだくじのように、分岐点でどちらに進むかについて明確なルールがありません。だから分岐点にたどり着くたびにどちらに進むかを判断する必要があります。ここで判断を誤ると、正解にたどり着けなくなったり、正解にたどり着くためにかなり遠回りをしないといけなくなったりします。 　分岐点で迷わないようにするポイントが思考を往復させることです。思考を往復させることによって、例えば角度の問題であれば、どうしてその順番に計算しようと思ったか、理由ができるわけです。補助線を引く必要のある問題であればなぜそこに補助線を引こうと思ったのか、理由があるから引けるのです。 　前置きが長くなってしまいましたが、ここからが図形問題のスタートです。勇気を持ってチャレンジしましょう。 Ａ００　角度の基礎 　夜空の星は毎日同じ時間に観察すると、少しずつ移動して１年でちょうど１周します。１年は３６５日ですから、１周の角度を３６０度と決めるとおおよそ１日に１度ずつ移動することになって、星の観察には非常に都合がよいのです。それでちょうど１周の角度は３６０度と決められました。 　直線の角度はそのちょうど半分で１８０度、１周をちょうど４等分した角度は３６０÷４＝９０（度）になります。９０度は直角といわれることもあり、かぎかっこのような直角マークで表されることもあります。 　ここまでの角度はおぼえておきましょう。問題もこれを知っていることを前提に作られています。 　１２０度、６０度、４５度、３０度は、「１２０度っていったら、だいたいこのくらいかな」ってかんじでおぼえておきましょう。そして角度の問題を解くときに必ずやって欲しいことがあるのです。 　それは答えがでたら、その答えを解答らんに書き込む前に、自分が求めた角度がだいたい見た感じでそのくらいになっているかを確認することです。これを行うことで、角度の問題はうっかりミスをかなり減らすことができます。 　問題を作る立場としては、分度器かなんかで角度をはかる生徒がいると困るので、それほど図を正確にかかないことが多いのですが、だからといって本当は４０度くらいしかないところを７０度とかにはさすがにできないものです。 　忘れないように、「見た目チェック」を行いましょう。 A00.pdf へのリンク Ａ０１　対頂角 　２本の直線が交差しているとき、４つの角度ができます。このときＡとＢ、ＣとＤのように向かい合った位置にある角を「対頂角」といいます。 　Ａの角とＢの角はともに１８０−Ｃで、Ｃの角とＤの角はともに１８０−Ａで計算できるので、Ａ＝Ｂ、Ｃ＝Ｄのように、対頂角は等しくなります。 　対頂角が等しいことは、角度の問題の多くの場面で利用することになるので、おそらく特に意識しないでも自然に使えるようになると思います。 A01-02.pdf へのリンク Ａ０２　平行線と角度 　平面上（紙の上）でどこまでのばしても交わることのない２本の直線の関係を「平行」といいます。 　２本の直線に交差する直線を引いたとき、８つの角度ができます。このとき、Ａの角（上側の直線に対して左上）とＣの角（下側の直線に対して左上）のように同じ位置にある角を「同位角」といいます。ＢとＤ、ＥとＧ、ＦとＨも同位角です。 　２本の直線が平行なとき、「同位角」の大きさは等しくなります。逆に「同位角」が等しくなるような２本の直線の関係を「平行」ということもできます。 　ＡとＢ、ＣとＤはそれぞれ「対頂角」なので同じ大きさになります。ですから、ＡとＢとＣとＤは全て同じになります。 同じ理由でＥとＦとＧとＨも同じ大きさになります。 　角度の問題で問題文章中に「平行」とでてきた場合には、ほぼ間違いなくこの関係を利用することになります。 　また「台形」や「平行四辺形」「長方形」「正方形」の中にも平行な直線がありますので、問題の中にこれらの図形が出てきたときには「Ａ０２　平行線と角度」を使うことを考えてみましょう。 Ａ０３　三角形の内角の和　 　三角形の３つの角の内側にある角度を三角形の内角といいます。また三角形の下側の辺を底辺といいます。三角形には３本の辺があるので、三角形の向きを変えればどこでも底辺にすることができます。　このことは三角形の面積の問題を解くときに必要になるので、おぼえておくといずれ役立つときが来るかもしれません。 　三角形の一辺を底辺にして、底辺にない角を通るように底辺と平行な線をひきます。そうすると、Ａ０２の「平行線と角度」で勉強したように同じ角度ができます。 　こうすると三角形の全ての角を一か所に集めることができます。この３つの角度を合計するとちょうど一直線の角度１８０度になります。これはどんな形の三角形で試してみても同じになります。ですから三角形であればどんな三角形でも「内角の和は１８０度」になります。 　「Ａ０３　三角形の内角の和」は角度の問題ではかなりよく使うので、特に意識しなくても自然におぼえてしまうと思います。 A03-05.pdf へのリンク Ａ０4　三角形の外角の定理 三角形の３本の辺のうちの１本をのばすと、新しく角度が２つできます。このうちのひとつは必ず１８０度になります。 １８０度にならないもうひとつの方の角度を「外角」といいます。 　図ではＢとＣを結ぶ線をのばして外角を作っていますが、ＡとＣを結ぶ線をのばして外角を作ることもできます。このときＣに対して２つの外角を考えることができますが、この２つの外角は「対頂角」の関係になるので、同じ角度になります。ですから普通、「Ｃの外角」といったときには、このうちのどちらか一方を考えているのです。 　Ｃの外角をＤとしたときに、Ｄの角度は、Ａの角度とＢの角度の和と等しくなります。どちらも１８０−Ｃと同じになるからです。 　Ｄ＝Ａ＋Ｂこれを「外角の定理」といいます。 　「外角の定理」は知らなくてもあまり困ることはないように思うかもしれません。　ＡとＢの角度がわかっていて、Ｄの角度を求めるときに、「外角の定理」を知っていればＡとＢをたせばよいのですが、もしも知らなかったとしても、まずＡ＋Ｂを計算して、その答えを１８０からひいてＣの角度を求め、１８０度からＣの角度をひいてＤの角度を求めることもできるからです。 　だけど、もし算数（数学）が得意になりたいのなら、「外角の定理」を使った方が楽にできる場面であればできうる限り「外角の定理」を使うように意識して下さい。その方が楽ですし、計算も２回減ってミスをする可能性も減ります。なにより「面倒くさい計算も工夫して楽にしたい」と願う心こそが算数（数学）が得意になるために非常に重要だからです。 　実際には「三角形の外角の定理」を知らないと解けない問題を作ることもできますが、こういったタイプの問題はなかなか見ることができません。角度問題上級編にはこういった問題もありますので、学習が進んだらぜひチャレンジしてみて下さい。 Ａ０5　三角形の外角の定理の応用 　直線を２本交差させ、その両側（または上下）に三角形を作ります。そうするとまるで蝶（ちょう）のような図形ができます。蝶の左側の羽の上側にできる角度をＡ、下側にできる角度をＢ、蝶の右側の羽の上側にできる角度をＣ、下側にできる角度をＤとすると、Ａ＋Ｂ＝Ｃ＋Ｄになります。Ａ＋ＢもＣ＋Ｄも直線が交差した場所の上（または下）側にできる角度（Ｅ）と同じになるからです。ここで外角の定理を使います。 　この段階では特に「Ａ０５　三角形の外角の定理の応用」を使わなくても、ひとつひとつ地道に角度を計算すればよいようにも思えます。 　実際に「Ａ０５」を使わなくても解けるような問題はたくさんありますが、「Ａ０５」が使える問題ではできるだけこれを利用して解くことをこころがけてください。 　なぜかというと、「Ａ０５」を使うと面白い問題をたくさん作ることができるからです。ですから、問題を作成する多くの先生が「Ａ０５」を使うことを考えると思います。 　いずれ角度問題上級編にチャレンジするときにはこのレベルの知識を自由自在に使いこなす必要があります。 Ａ０6　二等辺三角形 　三角形の３本の辺のうち２本の長さが等しいとき、その三角形を「二等辺三角形」といいます。 　「二等辺三角形」の形をした紙を、長さの等しい辺がくっついたところにある角（頂角といいます）で２つに折るとぴったり重なるので、頂角以外の２つの角（底角といいます）の大きさが等しくなります。二等辺三角形であれば、内角のうち１つでも角度がわかっていれば残りの角を計算して求めることができます。 　問題に出てくる三角形が二等辺三角形とわかっていれば計算は楽勝です。ですから二等辺三角形を使った問題で難しい問題を作ろうと思ったら、できるだけすぐにその三角形が二等辺三角形だとわからないようにかくすのが普通です。問題を解く生徒の立場からすれば、いかに二等辺三角形を探し出すかが勝負の分かれ目になります。問題の中に同じ長さになる線分があったら、すぐに二等辺三角形ができないか探してみましょう。 　角度問題上級編の中にはできるだけ簡単にばれないように二等辺三角形をかくしてある問題がたくさんあります。 A06-08.pdf へのリンク Ａ０7　正三角形 　三角形の３本の辺の長さが全て等しい三角形を「正三角形」といいます。正三角形であれば、３つの内角の大きさが全て等しくなります。三角形の内角の和は１８０度ですから、正三角形のひとつの内角の大きさは、 １８０÷３＝６０（度）になります。 　二等辺三角形で１か所でも内角が６０度になれば、その三角形は正三角形になります。 　正三角形であればひとつの内角は６０度に決まってますから、問題を作成する立場からすると二等辺三角形以上に巧妙にかくすか、その他の要素と組み合わせて出題することになります。 Ａ０８　直角三角形 　三角形の３つの内角のうち、１つが９０度になっている三角形を直角三角形といいます。三角形の内角の和は１８０度なので、上の図のように角Ｃの大きさが９０度のときには、 角Ａ＋角Ｂ＝９０（度）になります。 　ですから例えば角Ａの大きさが３２度であれば、角Ｂの大きさは、 １８０−（９０＋３２）＝５８（度） のように計算しなくても、 ９０−３２＝５８(度）のようにすればよいので計算が少し楽になります。 　このように、少しでも計算の回数を減らして楽をしようとすることは、計算ミスを減らすためにも大切ですが、それ以上に算数や数学を得意にするために絶対必要な精神ですから、できる限り少ない計算ですますように心がけて解きましょう。 Ａ０９　三角定規 　上の図で説明しているように三角定規はすべて角度が決まっています。基本的に角度の問題は「三角定規の角度は知っていて当然」という姿勢で作成されます。全ておぼえておくようにしましょう。 　［図１］の三角定規は角Ｃの大きさが９０度で、ＡＢの長さがＢＣの長さの２倍になっています。このことは面積を求める問題ではたまに使うことがあるのでおぼえておきましょう。 　この三角定規は上の図のように２つくっつけると正三角形になります。正三角形の角度は全て６０度なので角Ｂは６０度、角Ａは６０度の半分で３０度になります。 　角Ｂは角Ａの２倍、角Ｃは角Ａの３倍になっています。 　［図２］の三角定規は角Ｃが９０度でＡＣ＝ＢＣになっています。このような三角形を「直角二等辺三角形」といいます。角Ａと角Ｂは大きさが等しくその和が９０度になりますから、９０度の半分で４５度になります。 　角Ａと角Ｂが等しく、角Ｃはちょうどその２倍です。 　三角定規の角度はいずれもおぼえやすく、どうしてその角度になるのか理由もはっきりしています。 A09.pdf へのリンク Ａ１０　台形 　四角形の４本の辺のうち、２本の辺が平行になっている四角形を「台形」といいます。このあと紹介する 「平行四辺形」「ひし形」「長方形」「正方形」はいずれもこの条件を満たしているので、全て台形の一種だということができます。 　一般的に代表的な台形として[図４]の等脚台形が紹介されることが多いので、[図３]のような四角形を台形だと思っていない生徒も多いようですが、[図１]〜[図４]まで全て台形になります。 　[図１]で説明しているように、この台形ではＡＤとＢＣが平行になるので、Ａ０２の｢平行線と角度｣を使うと、角Ａ＋角Ｂ＝１８０（度）、角Ｃ＋角Ｄ＝１８０（度）になります。｢台形｣を使って角度の問題を作成する場合には、この点くらいしか利用できるところがありません。角度の問題に台形が出てきたら、｢平行線と角度｣を意識して解きましょう。 A10-11.pdf へのリンク Ａ１１　平行四辺形 　四角形の４本の辺のうち、２本ずつがそれぞれ平行になっている四角形を｢平行四辺形｣といいます。 上の図では辺ＡＢと辺ＤＣ、辺ＡＤと辺ＢＣが平行になっています。 ふつうの台形では平行になっていなかったもう一組の辺が平行になることで、台形にはなかった様々な性質が生まれます。 　上の図では辺ＡＢと辺ＤＣが平行なので、角ＡとＤの外側にできる角が等しくなります。 辺ＡＤと辺ＢＣが平行なので、Ｄの外側にできる角と角Ｃが等しくなります。したがって角Ａ＝角Ｃになり、同じように角Ｂ＝角Ｄになります。 　その他に、辺ＡＢ＝辺ＤＣ、辺ＡＤ＝辺ＢＣになったり、ＡＯ＝ＣＯ、ＢＯ＝ＤＯになったりします。辺の長さに関する知識は角度の問題ではほとんど出番がありませんが、これを使って問題を作ることは可能なので、角度問題プリントの中にそういった問題も混ぜておきます。そういった問題を解くときまでおぼえておきましょう。 Ａ１2　ひし形 　｢ひし形｣を使って角度の問題を作るのに一番使えそうな性質は｢全ての辺の長さが等しい｣ことです。｢折り返し｣や｢回転｣によって辺の位置を移動させれば二等辺三角形を作ることができるので、これを利用すればおもしろい問題が作れます。 A12-14.pdf へのリンク Ａ１３　長方形 　長方形は私たちにとって最も身近な図形のひとつです。テレビやパソコンの画面、みなさんがいつも使っているノートやプリントも長方形です。 　長方形に特有の角度の問題を作るのはなかなか難しいのですが、この身近さゆえに長方形は折り返しの問題によく使われます。折り返しの問題は、長方形でなくても、台形や平行四辺形、ひし形でも作ることができますが、圧倒的に多いのは長方形です。それは皆さんの身の回りにある紙のほとんどが長方形だからだと思います。 Ａ１４　正方形 　｢正方形｣も長方形やひし形と同じように、回転や折り返しを利用すると角度の問題が作りやすくなります。 　また角度とは関係ありませんが、正方形はひし形の一種ですから、当然ひし形の面積の公式（対角線×対角線÷２）は正方形の面積を求めるためにも利用できます。この公式はひし形よりも正方形で使う方が多いので、おぼえておくといずれ役立つときが来ると思います。 Ａ１５　Ｎ角形の内角の和 　四角形の４つの角のうち１つを決めて対角線を引くとき、１本の対角線を引くことができます。これは、 　４−３＝１（本） のようにして計算することができます。 　最初の４は四角形の頂点の数です。四角形だから４です。　ある頂点を決めそこから対角線を引くときに、何角形であってもどうしても対角線を引くことができない頂点が３つあります。 　それは自分自身と両側のとなりの頂点です。自分自身にはそもそも線を引くことができませんし、両どなりの頂点に引いた直線は「対角線」でなく「辺」になってしまいます。 　この１本の対角線によって、四角形は２つの三角形に分けられます。 この２つの三角形の内角をすべて合計したものが、四角形の内角の和と等しくなりますから、四角形の内角の和は 　１８０×２＝３６０（度） のようにして計算することができます。 　五角形の場合、ひとつの頂点から引くことのできる対角線は、 　５−３＝２（本） 　この２本の対角線によって五角形は３つの三角形に分けることができるので、内角の和は 　１８０×３＝５４０（度） になります。 　六角形では、ひとつの頂点から引くことのできる対角線は 　６−３＝３（本） です。この３本の対角線によって六角形がいくつの三角形に分けられるかをもう少し詳しく考えてみましょう。 　まず一番上側の頂点から反時計回りに数えて２番目の頂点に対角線を引きます（上の図では青と黄色のライン）。するとこの対角線の左側に三角形が１つできます。（青色の三角形） 　次に反時計回りに数えて３番目の頂点に対角線（黄と赤色）を引くと、この対角線の左側に三角形がもうひとつ（黄色）できます。 　このように対角線を１本引くとその対角線の左側に三角形が１つずつできます。 　このようにして対角線の左側にできた三角形の数は、対角線の数と等しくなります。 　ただし一番最後の、時計回りに数えて２番目の頂点から引いた対角線（赤と緑色）には対角線の右側にも三角形がひとつできます。 したがってできる三角形の数は、対角線の数＋１になります。六角形の場合には、ひとつの頂点から引ける対角線の数が３本ですから、 　３＋１＝４（個）の三角形を作ることができます。 このようにして六角形の内角の和は、 　１８０×４＝７２０（度） になるのです。 　これを□角形で考えてみましょう。 ひとつの頂点から引ける対角線の数は 　□−３（本） 　対角線によって分けられてできた三角形の数は 　□−３＋１＝□−２（個） 　内角の和は、 　１８０×（□−２） （度） 　になります。 　このように□を使って式を作ると後は何角形の内角の和でも□の中に入れる数字を変えるだけで計算することができます。 （□角形の内角の和）＝１８０×（□−２） 　このような式を公式といいます。中学校ではこのような場合、□を使わずに□のかわりにアルファベット１文字を入れることになっているので私たちも、先取りしておぼえましょう。 （Ｎ角形の内角の和）＝１８０×（Ｎ−２） 　なぜここで数あるアルファベットの中からＮを選んだからというと、普通小数や分数にならない数、必ず整数になる数にはＮを使いましょうというルールみたいなものがあるからです。 A15-16.pdf へのリンク Ａ１６　正Ｎ角形 　Ｎ角形のうち、全ての辺の長さが等しく、全ての角の大きさが等しい場合、その図形を正Ｎ角形といいます。 　Ｎが４になるときだけは、「正四角形」といわずに「正方形」ということが多いようです。 　正三角形の場合は、全ての辺の長さが等しければ全ての角度も等しくなりますが、その他のＮ角形では、例えばひし形のように全ての辺の長さが等しくても全ての角が等しくなるとは限りませんし、長方形のように全ての角の大きさが等しくても全ての辺の長さが等しくなるとは限りませんから注意しましょう。 　正Ｎ角形を利用するといろいろ面白い問題も作ることができるのですが、そういった問題はもう少し学習が進んでから解くことにして、とりあえずここでは正Ｎ角形のひとつの内角を計算できるようにしておきましょう、 　まず正Ｎ角形の内角の和を計算して、Ｎで割ればよいのですから、ここまで学習を進めてきたみなさんには簡単な問題だと思います。 　このときできうることならば、公式を丸暗記するのではなく、公式の作り方を思い出しながら解けるようになることが理想です。 Ａ５１　余分な線を消せ！ 　上の図では平行線を取り上げていますが、余分な直線が１本加わるだけで、簡単な問題が少し複雑に見えてしまいます。角度の問題で難易度の高い問題では、たくさんの線の組み合わせの中から必要な部分だけを選び出す必要があり、その技術が角度問題の得意・不得意をわけるといってもいいと思います。 　「平行線」や「二等辺三角形」などに着目する習慣をつけると、上達が早くなると思います。レベルの高い問題では必ず必要になる技術なので、たくさん問題を解いて練習しましょう。 A51-52.pdf へのリンク Ａ５２　図形の折り返し 　折り紙を折るように、図形を折り返す問題も数多くあります。ここではそのような問題を解くポイントについて紹介したいと思います。 　折り返しの問題については注目するポイントはたったひとつしかありません。それは折り返す前の図形を切り取って裏返すと、折り返した後の図形とぴったり重なるということです。 　このとき重なる角の大きさは全て等しく、重なる辺の長さは全て等しくなります。（この関係を合同といいま す） 　上の［図１］では、○の角と○の角、◇の角と◇の角、直角と直角が等しくなります。普通の問題ではこの関係に着目して、何回か計算を行うと正解が出ます。 　次に上の［図１］で辺の関係に着目すると、辺ＡＢの長さと辺ＡＦの長さ、辺ＢＥの長さと辺ＦＥの長さも等しくなります。角度の問題において辺の長さが同じであることを利用する場合、問題を作成する側は、どこかに二等辺三角形をつくることを考えます。この問題の場合四角形ＡＢＣＤが正方形ですから、ＡＢ＝ＡＦ＝ＡＤとなり、三角形ＡＤＦは、ＡＤ＝ＡＦの二等辺三角形になります。 　この二等辺三角形を利用した問題も作成することができるので、もし角度から計算して答えが出ないときには、二等辺三角形のことも思い出すようにするとよいでしょう。 　［図２］のように長方形の紙を折り返す場合にも同じように同じ角度を探すことが問題を解くための第一歩となります。折り返す前の角度と折り返した後の角度が同じになるのは［図１］と同様なのですが、［図２］の場合、ＡＤとＢＣ、ＧＥとＢＦが平行になるのでこれを利用して同じ角度を探すこともできます。［図２］の場合３か所ある○の角と、ＪとＫの角がそれぞれ等しくなります。 　このとき三角形ＩＥＦは二等辺三角形になります。このように長方形の紙を折り返したとき、紙の重なった部分は必ず二等辺三角形になりますから、これもおぼえておくと問題を解くときに役立つと思います。 Ａ５3　円の利用 　一本のひもを用意して、片方を紙の上に固定し、もう片方に鉛筆をしばりつけて、糸をピンと張ったまま一周させると円が描けます。このようにして描いた円の最大の特徴はどこで半径をはかっても同じ長さになることです。 　円を利用した角度の問題を作成することを考えた場合、ほとんどこの性質を使って二等辺三角形を作る以外の方法を思いつきません。ですから、問題の中に円がかいてあったら、まずその中から二等辺三角形を探してそれを利用することを考えればよいのです。 　こういった問題の中には補助線を引いて考えるタイプの問題もあります。補助線を引くタイプの問題は非常に難易度が上がります。補助線はいろいろな場所に引けますが、引く場所を間違えると正解にたどり着くのが難しくなるからです。 　ところが、この「円の利用」の問題では補助線を引く場所ははっきりしているのです。それは「円の半径がどこでも同じ長さなのを利用して二等辺三角形ができる場所」です。「円の利用」の問題は、補助線を入れる練習をするのに最適なので、たくさん練習しましょう。 　円の利用でもうひとつ出題されるのは、円周を同じ長さに分けていって、正多角形をつくるタイプの問題です。中心角を同じ角度に分けていっても同じように正多角形ができます。上の［図２］のように、合同な二等辺三角形がたくさんできるので、内角の大きさも辺の長さも全て等しくなります。 　これを利用すると、Ｎ角形の内角の和の公式を使わなくてもひとつの内角の大きさが計算できます。この方法でも正Ｎ角形のひとつの内角の大きさを計算できるようにしておくとよいでしょう。 A53-54.pdf へのリンク Ａ５４　辺を共有する正Ｎ角形 　Ａ１６で紹介したように、全ての辺の長さが等しく、全ての角の大きさが同じ図形を正Ｎ角形といいます。 　上の図は、正方形と正三角形をぴったり重なるようにかいた図です。重なっている辺ＢＥは正方形の一辺でもあり、正三角形の一辺でもあります。これをちょっと難しい表現にすると「正方形ＢＣＤＥと正三角形ＡＢＥは辺ＢＥを共有している」ということになります。 　このとき正方形の全ての辺も、正三角形の全ての辺も、ＢＥの長さと同じになります。 　これを利用して二等辺三角形を作ることができます。上の図では三角形ＡＤＥが二等辺三角形になります。正Ｎ角形であればひとつの内角は計算で求めることができます。この場合は正方形と正三角形なので９０度と６０度になります。そうすると角ＡＥＤは、９０＋６０＝１５０（度）のように計算することができます。 　図で○になっている角ＥＡＤや角ＥＤＡは二等辺三角形の底角になるので、 （１８０−１５０）÷２＝１５（度） のように計算することができます。 　私立中学入試ではこのタイプの問題は、正方形と正三角形の組み合わせで出題されることが多いのですが、何角形と何角形を選択するか、選択した図形の位置関係（外側か内側か）、組み合わせる図形の数によって何パターンもの問題を作ることが可能です。 Ａ５5　図形の回転 　回転の問題では移動後の図形の記号にＢ’やＣ’を使わずにＤやＥを使ってもよいのですが、Ｂ’はもともとＢ、Ｃ’はもともとＣだとわかりやすいのでここではＢ’Ｃ’を使うことにします。 　「図形の回転」の問題では、着目すべき点が３つあります。１点目と２点目は、Ａ５２「図形の折り返し」でも書きました。 　１点目は回転する前の図形（三角形ＡＢＣ）と、回転した後の図形（三角形ＡＢ’Ｃ’）が合同であるということです。上の図では、辺ＡＢと辺ＡＢ’、辺ＢＣと辺Ｂ’Ｃ’、辺ＣＡと辺Ｃ’Ａの長さが等しくなります。また、角ＢＡＣと角Ｂ’ＡＣ’、角ＡＢＣと角ＡＢ’Ｃ’、角ＡＣＢと角ＡＣ’Ｂ’も等しくなります。 　２点目は、同じ長さの辺を利用すると二等辺三角形ができることです。この場合三角形ＡＢＢ’と 三角形ＡＣＣ’がいずれも二等辺三角形になります。 　３点目は、角ＢＡＢ’、角ＣＡＣ’、角ＢＤＢ’（角ＣＤＣ’）がいずれも同じ角度（この場合は６０度）になることです。 　三角形ＡＢＣが６０度回転して三角形ＡＢ’Ｃ’になったのですから、辺ＡＢも辺ＡＣも辺ＢＣも６０度ずつ回転しているということですね。この性質は図形の回転特有の性質なので、問題を解くときにはつい忘れがちになります。ぜひおぼえておいて下さい。 A55-56.pdf へのリンク Ａ５６　角度の記号化 　上の［図１］では○と○、◇と◇の角度が等しい大きさになっています。 　三角形ＢＣＤで内角の和を考えると、○＋◇＝１８０−１１３＝６７（度）になります。 　このとき○と◇の角度がそれぞれ何度になるかはわかっていません。ここで三角形の内角の和を利用してＡの角度を求めるためには、○○の角度（角ＡＢＣ）と◇◇の角度（角ＡＣＢ）がわからないといけないような気がします。 　だけどよく考えたら、Ａの角度は、○○の角度（角ＡＢＣ）と◇◇の角度（角ＡＣＢ）をたして、１８０からひいて求めるのですから、○○の角度（角ＡＢＣ）と◇◇の角度（角ＡＣＢ）がそれぞれ何度かがわかっていなくても、その和がわかっていればよいわけです。 　それならば、○＋◇＝６７（度）がわかっているわけですから、 ○○＋◇◇＝６７×２＝１３４（度） １８０−１３４＝４６（度） のようにしてＡの角度を求めることができます。 　上の［図２］では、Ａの角度を求めるのですが、このままだと唯一角度のわかっている７２度を利用することができません。そこでＡの角度をとりあえず○と考えます。 　三角形ＡＢＣはＢＡ＝ＢＣの二等辺三角形ですから、角ＡＣＢも○になります。 　次に角ＣＢＤを三角形ＡＢＣの外角と考えると、角ＣＢＤ＝角Ａ＋角ＡＣＢ＝○＋○＝○○になります。 　三角形ＣＢＤは、ＣＢ＝ＣＤの二等辺三角形なので、角ＣＤＢ＝角ＣＢＤ＝○○のようにして、角ＣＤＢも○○になります。 　さらに角ＤＣＥを三角形ＡＣＤの外角と考えると、角ＤＣＥ＝角Ａ＋角ＣＤＢ＝○＋○○＝○○○となり、 角ＤＣＥはＡの角３個分になります。 　これが７２度ですから、 角Ａ＝７２÷３＝２４（度）のようにして、Ａの角度を求めることができます。 　ここで紹介した２問は、とりあえずわかっていない角度を○とか◇とかにして考える問題です。［図１］の問題は実は適当に○＝３０（度）、◇＝３７（度）のように決めて解くこともできますが、［図２］の問題は角度を適当に決めて解くことは難しくなります。まずＡの角度を○と決めるところからはじまって、わかりそうな角度を外角の定理を利用して次々と求めていく必要があります。 　ここまでの知識をカードサイズにまとめてあります。印刷して切り取って使って下さい。 　難しい問題を解くときは、このカードをめくりながら、どのカードの知識が利用できそうか考えましょう。 　最終的にこのカードの知識が全て頭に入って、頭の中でどの知識が使えそうか考えられるようになれば、図形の問題が得意になります。 Acard01.pdf へのリンク 　基本的には角度問題は、１日１枚、一週間分計７枚で構成されていて、毎週日曜日に更新されます。 毎週の角度問題の利用には、入会が必要になります。入会はこちらから 　会員のみなさんはこちらからダウンロードして下さい。 　体験版（無料）も公開しています。体験版は、初級トレーニング、中級トレーニングは各３枚、その他のプリントは基本的に各７枚の構成になっています。ぜひ一度チャレンジして下さい。 角度練習用プリント 知識編が理解できたかどうかを確認するための、練習用のプリントです。 kakudo.pdf へのリンク 解答です。 kakudoA.pdf へのリンク 初　級 　初級トレーニング１ 　角度問題の入門編です。一番最初はこのプリントから取り組んで下さい。 角度の基礎、対頂角の問題です。A００とＡ０１を読んでから取り組んで下さい。 AngleStr1S.pdf へのリンク 解答です。 AngleStr1SA.pdf へのリンク 　初級トレーニング２ 　初級トレーニング１ができるようになったら次はこのプリントにチャレンジして下さい。 平行線と角度に関する問題です。A０２を読んでから取り組んで下さい。 AngleStr2S.pdf へのリンク 解答です。 AngleStr2SA.pdf へのリンク 　初級トレーニング３ 　初級トレーニング１、２の後に取り組んで下さい。 三角形の内角の和、外角の定理、直角三角形に関する問題です。Ａ０３、Ａ０４、Ａ０８を読んでから取り組んで下さい。 AngleStr3S.pdf へのリンク 解答です。 AngleStr3SA.pdf へのリンク 　初級トレーニング４ 　初級トレーニング最後のプリントです。 二等辺三角形、正三角形、三角定規、四角形に関する問題です。Ａ０６、Ａ０７、Ａ０９、Ａ１５を読んでから取り組んで下さい。 AngleStr4S.pdf へのリンク 解答です。 AngleStr4SA.pdf へのリンク 　初級角度問題 　初級トレーニング１〜４全ての問題が混合されています。初級トレーニングが全てできるようになったらやってみましょう。小学校で学ぶ角度問題の中でも簡単レベルの問題になります。 AngleSS.pdf へのリンク 解答です AngleSSA.pdf へのリンク 中　級 　中級トレーニング１ 　角度問題の応用編です。初級角度問題ができるようになったらチャレンジしてみましょう。 台形、平行四辺形、ひし形、長方形、正方形、N角形の内角の和、正N角形に関する問題です。 Ａ１０、Ａ１１、Ａ１２、Ａ１３、Ａ１４、Ａ１５、Ａ１６を見ながら取り組んで下さい。 AngleCtr1S.pdf へのリンク 解答です。 AngleCtr1SA.pdf へのリンク 　中級トレーニング２ 　中級トレーニング１の後に取り組んで下さい。 外角の定理の応用、円の利用、辺を共有する正Ｎ角形に関する問題です。Ａ０５、Ａ５３、Ａ５４を見ながら取り組んで下さい。 AngleCtr2S.pdf へのリンク 解答です。 AngleCtr2SA.pdf へのリンク 　中級トレーニング３ 　中級トレーニング１、２の後に取り組んで下さい。 余分な線を消す問題、図形の折り返し、図形の回転からの出題になります。Ａ５１、Ａ５２、Ａ５５を見ながら取り組みましょう。 AngleCtr3S.pdf へのリンク 解答です。 AngleCtr3SA.pdf へのリンク 　中級角度問題 　中級トレーニング１〜３の問題を中心に構成されています。小学校で学ぶ角度の問題の中でも標準的なレベルから応用問題レベルまでの問題がありますので楽しんで取り組んで下さい。 AngleCS.pdf へのリンク 解答です AngleCSA.pdf へのリンク 上級角度問題プリント 　小学校で学ぶ角度問題の中でもかなり難易度の高い問題を中心に構成されています。中級角度問題ができるようになったあとにチャレンジして下さい。 角度の記号化の知識が必要になる問題もあります。Ａ５６をよんでから取り組みましょう。 AngleJS.pdf へのリンク 解答です AngleJSA.pdf へのリンク