ハイレベル文章題－３ 面積図を利用する文章題（Ｒ）
中学入試では、中学で学ぶ「連立方程式」レベルの問題が出題されます。小学生の知識で「連立方程式」レベルの問題を解くためには当然さまざまな工夫が必要になります。
これまでに、その工夫の一例として「表（Ｔ）」と「線分図（Ｌ）」について紹介してきました。ここからはいよいよ
「面積図（Ｒ）」について学習します。
表や線分図が小学校（や中学校）の授業で軽く取り扱われるのに対して、面積図は一切取り扱われることがありません。そのことが面積図に対するハードルを高くしているのだと思います。実際中学入試に向けて勉強している生徒にとっても、面積図は苦手な分野のひとつになっているようです。
ここでは面積図の基礎からじっくり学習していきましょう。
Ｒ０１－面積図の基礎 R0.pdf へのリンク
ここで取り扱う問題は、面積図を使わなくても解ける問題がほとんどです。しかしＲ０１の目的は面積図に慣れることですから、必ず式だけでなく、面積図をかきながら解いて下さい。
【問題１】－Ｒ０１
４×３６０＝１４４０（羽）
のかけ算で解ける問題です。かけ算を使うという意味において、「たて４ｃｍ、横３６０ｃｍの長方形の面積を求めなさい」という問題と同じ式で解くことができます。
従って長方形をかいて、たてに４羽、横に３６０人とかきこんでみましょう。このとき面積にあたる１４４０が答えになります。
（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～
【問題２】－Ｒ０２
速さの問題を解く場合、速さの三公式と呼ばれる次の３つの公式をマスターする必要があります。
速さ×時間＝道のり
道のり÷時間＝速さ
道のり÷速さ＝時間
ここでは「面積図」を使ってこれら３つの公式を一度に覚えましょう。
まず長方形をかいて、たてを速さ、横を時間、面積を道のりだと考えます。そうすると、
道のり（面積）が求めたいときには、速さ（たて）×時間（横）で、
速さ（たて）が求めたいときには、道のり（面積）÷時間（横）で、
時間（横）が求めたいときには、道のり（面積）÷速さ（たて）で
求めることができます。
速さ（たて）と時間（横）は逆（速さが横で時間がたて）でもいいような気がしますが、今後の解説の理解を深めるためにも、ここでは速さがたてで時間が横に統一しておきましょう。
この問題を解くために、まず長方形をかき、たてに２００、面積（長方形の中）に１０００をかきこんでみましょう。求めたいのは時間（横）ですから、
１０００÷２００＝５（分）
できました。
（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～
【問題３】Ｒ０３
食塩水の問題では、たてを濃さ、横を食塩水、面積を食塩にします。
長方形をかいて、たてに０．２（＝２０％）、面積に２４をかき込みましょう。求めたいのは食塩水（横）ですから、
２４÷０．２＝１２０（ｇ）
できました。
（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～
【問題４】Ｒ０４
平均の問題では、たてを平均、横を個数、面積を合計にします。
長方形をかいて、横を５、面積を２３０にします。求めたいのは平均（たて）ですから、
２３０÷５＝４６（ページ）
できました。
Ｒ１１－階段＋並列型 R11.pdf へのリンク
ここからいよいよ本格的に面積図の学習を始めましょう。まずは、Ｒ１１中学入試の世界では「つるかめ算」とよばれる問題からです。
実は「つるかめ算」は、以前学習した「表を利用して解く問題」のＴ４２１で解くこともできるのですが、面積図を使った方が解いていておもしろいので、こちらで紹介することにします。
まず、左側にみかんの長方形をかきます。たてを３０円、よこをみかんの個数にします。この長方形の面積がみかんの合計金額になります。
次にこの長方形の右側に、りんごの長方形を並べてかきます。たてを８０円、横をりんごの個数にします。この長方形の面積はりんごの合計金額になります。
問題文から読み取れるのは、
みかんとりんごの合計の個数（２０個）と、
みかんとりんごの合計の値段（１０００円）です。
みかんとりんごの合計の個数は、２つの長方形の左はしから右はしまでの長さになります。ここに２０個とかきこみましょう。
みかんとりんごの合計の値段は２つの長方形の面積の合計になりますが、これはかきいれる場所がありません。とりあえずおぼえておきましょう。
できればみかんかりんごかどちらかの面積を求めたいところですが、この段階ではどちらも求めることができません。面積を求めるためにはたての長さと横の長さの両方が必要だからです。
この段階でわかっている横の長さは、合計個数の２０個だけなのでとりあえずこれと、たての３０円を使って面積を求めてみましょう。
３０×２０＝６００（円）－①
これが左側のみかんの長方形の上側の辺を、右側のりんごの長方形まで延長したときにできる下側の長方形の面積になります。
このときにりんごの長方形の上側にできた長方形の面積は、２つの長方形の面積の合計が１０００（円）だったので、
１０００－６００＝４００（円）－②
になることがわかります。
この長方形のたての長さは、
８０－３０＝５０（円）－③
ですから、横の長さは、
４００÷５０＝８（個）－④
これがりんごの個数になります。
みかんの個数は、
２０－８＝１２（個）できました。
まず家からポストまでの長方形と、ポストから学校までの長方形を並べてかきましょう。
ＲＯ２でたてが速さ、横が時間、面積が道のりと決めておいたので、そのルールに従って数字をかきこみます。
左側の長方形のたてが７０ｍ／分、右側の長方形のたてが６０ｍ／分、２つの長方形をあわせた横の長さが１５分になります。
たてと横のわかっているところから面積を求めましょう。
６０×１５＝９００（ｍ）－①
これが２つの長方形の下側の面積になります。
上側にできた長方形の面積は、
９４０－９００＝４０（ｍ）－②
たての長さは
７０－６０＝１０（ｍ／分）－③
ですから、横の長さは
４０÷１０＝４（分）－④
になります。
求めたいのは、家からポストまで（左側の長方形）の、道のり（面積）ですから、
７０×４＝２８０（ｍ）できました。
（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～
答えを求めるのにこれだけの計算が必要になると、計算の途中で自分が何をやっているのかがわからなくなってしまうことがよくあるのですが、このように図の中に数字をかきいれる作業を、たて－横－面積が速さ－時間－道のりになる事を意識しながら行うと、それを防ぐことができます。
Ｒ１２１－階段＋並列＋整地型（平均の問題） R12.pdf へのリンク
ここに紹介されている問題を解くためには、事前に比について学習しておく必要があります。まだ比を学習していない場合はまず比について学習してから、読んでみて下さい。
この問題は
男子の合計点＝７２×２５＝１８００（点）
女子の合計点＝８０×１５＝１２００（点）
全体の合計点＝１８００＋１２００＝３０００（点）
全体の人数 ＝２５＋１５＝４０（人）
全体の平均点＝３０００÷４０＝７５（点）
のようにして計算することもできますが、この問題よりも数字が大きくなったり複雑になったりすると計算ミスをしやすくなります。面積図を利用してもう少し楽に計算してみましょう。
まず、左側に男子の長方形をかきます。たてを７２点、横を２５人にします。この長方形の面積が男子の合計得点になります。
次にこの長方形の右側に、女子の長方形を並べてかきます。たてを８０点、横を１５人にします。この長方形の面積は女子の合計得点になります。
女子の平均点が男子の平均点よりも高いので、女子の長方形の方がたての長さが長くなっています。ここにブルドーザーを持ってきて両方の高さが同じになるように、平らにならした高さが全体の平均点になります。
高いところの土砂を削って低いところを埋めるので、当然この平均のラインの左下側の長方形と、右上側の長方形は面積が等しくなります。
この２つの長方形は横の長さの比が、
２５：１５＝５：３
です。
２つの長方形の面積を同じにするためには、たての長さの比がこの逆比
３：５
になる必要があります。
この比を利用すると、全体の平均点を求めることができます。
２つの長方形のたての長さの和は、女子と男子の平均点の差ですから、
８０－７２＝８（点）
です。
これを３：５に分けたうちの３の方が左側の長方形のたての長さ、３：５に分けたうちの５の方が右側の長方形のたての長さになります。したがって
左側の長方形のたての長さ＝８÷（３＋５）×３＝３（点）
右側の長方形のたての長さ＝８÷（３＋５）×５＝５（点）
になります。
全体の平均点は、
７２＋３＝７５（点）または、
８０－５＝７５（点）どちらでも求めることができます。
Ｒ１２２－階段－並列－整地型（食塩水の混合）
まず６％の食塩水の長方形と、１２％の食塩水の長方形を並べてかきましょう。
この高さの異なる２つの長方形をブルドーザーで平らにならした高さが８％になります。
Ｆ１２１の問題と同じように８％のラインの左下の長方形の面積と右上の長方形の面積が同じになります。
この問題では左下の長方形の面積は計算で求めることができます。この長方形のたての長さは、
０．０８－０．０６＝０．０２－（１）ですから
２００×０．０２＝４（ｇ） －（２）
これが左下の長方形の面積になります。右上の長方形の面積も同じく、４（ｇ）です。右上の長方形のたての長さは、
０．１２－０．０８＝０．０４－（３）
ですから、横の長さは
４÷０．０４＝１００（ｇ）
このようにして１２％の食塩水の重さを求めることができます。
Ｒ２１１－引き出し＋２個重複型 R211.pdf へのリンク
【問題１】
まず２００ｇつくる予定の長方形をかいてみましょう。たてに濃さの０．０６横に食塩水の２００ｇをかきこみます。
この黄色の長方形の面積が食塩水を２００ｇつくるために必要な食塩の重さになります。
次に実際にできた食塩水の長方形を青色で黄色の長方形と重ねてかきます。
たては濃さで０．０６ですから、はじめにかいた長方形と同じ長さにします。横の長さが何ｇになるかはわかりませんが、実際にできた食塩水は予定よりも少なくなったので、はじめにかいた長方形よりも短くします。忘れないようにこの長方形の横の長さのところに「実際にできた食塩水の重さ」とかいておきましょう。この長方形の面積が実際に使った食塩の重さになります。
この２つの長方形の横の長さの差がこの問題の答えになります。ここに□ｇとかいておきましょう。黄色と青色の２つの長方形を重ねてかかないと、この□ｇをかき入れる場所ができません。これが２つの長方形を重ねてかいた理由です。
「食塩が３ｇたりなかったので…」の３ｇは、予定の長方形と、実際の長方形の面積の差になります。ここに３ｇとかきいれます。
この２つの長方形の差の部分を見ると、面積とたての長さがわかっています。横の長さは、面積÷たて
３÷０．０６＝５０（ｇ）
のようにして求めることができます。
Ｒ１１、Ｒ１２１、Ｒ１２２では２つの長方形のたての長さが異なっていたため、面積図は『階段』のような形になりました。
Ｒ２１１では２つの長方形のたての長さが同じなので面積図は『引き出し』のような形になります。
（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～
【問題２】
まず４個ずつ配ったときの長方形をかきましょう。たてを子どもの人数に、よこを１人に配る消しゴムの個数にします。たてには『人数』、横には『４個』とかいておきましょう。この青色の面積が子どもに配った消しゴムの数、すなわち実際の消しゴムの数になります。
次に５個ずつ配ったときの長方形を黄色でかきましょう。子どもの人数はどちらも変わらないのでたての長さは最初の長方形と同じにします。
５個ずつ配ると９個たりなかったということは、消しゴムがあと９個あればちょうど配れた事になります。最初の長方形よりも横を長くして、その差の面積のところに『９個』とかいておきます。この長方形の横の長さが『５個』になります。
２つの長方形の差の部分を考えると、横の長さは
５－４＝１（個）
のようにして計算することができます。面積は、『９個』なので、たての長さ＝人数は、
９÷１＝９（人）
のように計算することができます。
Ｒ２１２－引き出し＋３個重複型 R212.pdf へのリンク
Ｒ２１２はＲ２１１を少し複雑にしたタイプの問題です。
【問題１】
集まった金額は、（１人あたりの金額）×（クラスの人数）で計算することができます。クラスの人数を長方形のたてに、１人あたりの金額を長方形の横にして考えて見ましょう。
このタイプの問題はどんな順番で何をかいたかをしっかり覚えておくことが問題を正確に解くためのポイントになります。
まず赤色で長方形をかいてこの面積をサッカーボールの値段、たての長さをクラスの人数と考えます。これをよく覚えておきましょう
「１人６５円ずつ集めたら３０円たりなかった。」
たりなかったということは、集まったお金がサッカーボールの金額よりも少なかったということです。
クラスの人数は変わらないので、たての長さが赤い長方形と同じで、赤い長方形よりも小さい長方形を黄色でかいてみましょう。
この長方形の横の長さは１人あたりの金額なので６５円に、赤い長方形の面積（サッカーボールの値段）と黄色い長方形の面積（１人６５円ずつ集めたときの合計金額）の差が、たりなかった３０円になります。
「１人７０円ずつ集めたら１６０円あまった。」
あまったのですから、集まったお金がサッカーボールの値段よりも多かったということですね。
赤い長方形よりも大きな長方形を青でかいて、横の長さを７０円、赤い長方形との面積の差の部分に１６０円とかき込みましょう。
ここで、黄色い長方形と青い長方形の差の部分に着目します。上の図で緑色の長方形になっているところです。
この長方形は横の長さが、
７０－６５＝５（円） － （１）
面積が、
３０＋１６０＝１９０（円） － （２）
になっています。横の長さと面積がわかっているので、縦の長さも計算できます。
１９０÷５＝３８（人） － （３）
これがこのクラスの人数になります。
ところがこの問題で求めなければいけないのは、クラスの人数ではなくてサッカーボールの値段です。どうやって求めればよいのでしょうか。
ここで一番最初に赤い長方形をサッカーボールの値段にしたことを思い出して下さい。求めるのはこの赤い長方形の面積です。
それなら黄色い長方形の面積に３０円をたしても、
６５×３８＋３０＝２５００（円）
青い長方形の面積から１６０円を引いても
７０×３８－１６０＝２５００（円）
求めることができますね！
（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～
問題を解く間、どの色の長方形の面積が何を表していて、たての長さや横の長さがが何を表しているかを、常に意識すること。これができていれば、理解も深まりますし、将来必要な学力も順調に育成されていくと思います。よくわからない状態で解いていると、単なる作業になってしまって算数や数学の学力はつきにくいと思います。
【問題２】
まず作る予定だった食塩水の長方形を赤色でかきます。
食塩水の長方形ですから、たてが濃さ、横が食塩水の重さ、面積が食塩の重さになります。この長方形の面積が用意した食塩の重さになります。
「食塩水を１００ｇ作ろうとしたのですが、食塩が５ｇあまる」
次にこの長方形を黄色でかいてみましょう。作る食塩水の濃さは変わらないので、たてを同じ長さにします。
食塩が５ｇあまるということは、用意した食塩よりも５ｇ少なくてよいということなので、横の長さを短くして面積を小さくします。
この長方形の横の長さが１２０ｇ、赤い長方形との面積の差が５ｇになります。
「 食塩水の量を１２０ｇにしたところ食塩は２ｇあまりました」
この長方形は青でかきます。食塩が２ｇあまるということは、用意した食塩より２ｇ少ない量で作ることができるので、赤い長方形よりも小さめにして、横の長さを１２０ｇ、面積の差を２ｇにします。
黄色と青色の２つの長方形の差の部分を考えると（緑色の長方形）横の長さが、
１２０－１００＝２０（ｇ） － （１）
面積が、
５－２＝３（ｇ） － （２）になります。
したがって、縦の長さ（＝濃さ）は
３÷２０＝０．１５（１５％） － （３）になります。
求めたいのは用意した食塩の重さで赤色の長方形の面積になりますから、
１００×０．１５＋５＝２０（ｇ）
１２０×０．１５＋２＝２０（ｇ）
のいずれでも計算することができます。
（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～
【問題１】では黄色と青色の長方形は、赤色の長方形と比べて、一 方は小さくてもう一方は大きかったのですが、【問題２】では両方とも小さいので、図が少し複雑になっています。両方とも大きくなる問題も作成は可能なので、問題をよく読んでどのタイプになるかを判断する必要があります。
また同じ「あまる」でも【問題１】では大きな長方形になって、【問題２】では小さな長方形になりました。はみ出すかへこむかを単純にキーワードから判断することはできません。問題をよく読んで考えて判断しましょう。
Ｒ２２１－階段＋重複型 R22.pdf へのリンク
Ｒ２２１は、たての長さが異なる２つの長方形を重ねてかくタイプの文章題になります。
Ｒ２２２－階段＋重複型（はんぱ有りタイプ）
Ｒ２２２はＲ２１２とＲ２２１が混ざった問題になります。面積図の問題の中でもかなり難易度の高い問題なのでよく理解できない場合はもう一度Ｒ２１２とＲ２２１の復習をしてみてください。
【問題１】－Ｒ２２１
まず１日に３０円ずつ貯金するときの長方形黄色でかいてみましょう。たての長さを３０円にすると、横の長さは３０円ずつ貯金したときの日数になります。
次に１日２０円ずつ貯金したときの長方形を青色でかきます。この長方形はたてが２０円、横が２０円ずつ貯金したときの日数になります。
ここで、この長方形を最初にかいた長方形の横に並べてかくのか、最初にかいた長方形と重ねてかくのかを選択する必要があります。
この問題を解くためには２つの長方形を重ねてかく必要があるのですが、その理由がわかりますか？
問題文中に「３０日早く買うことができます」と書いてあります。
この「３０日」は「２０円ずつ貯金をしたときの日数」と「３０円ずつ貯金をしたときの日数」の『差』ですから、２つの長方形を重ねてかかないと、「３０日」をかきこむ場所がなくなってしまうからです。この２つの長方形の横の長さの差に当たる場所に「３０円」をかきこみましょう。
この２つの長方形の面積はいずれも「サッカーボールの値段」を表していますから、当然重ねてかいたときにはそれぞれはみ出している部分の面積も等しくなります。
２０円ずつのときの長方形（青）のはみ出している部分は、たてが２０円、横が３０日で面積を計算することができます。
２０×３０＝６００（円） － （１）
黄色の長方形のはみ出している部分の面積も６００円になるはずですから、ここに６００円とかき込みます。
このはみ出した長方形のたての長さは次のように計算することができます。
３０－２０＝１０（円） － （２）
面積とたての長さがわかれば、横の長さも計算できますね！
６００÷１０＝６０（日） － （３）
これが３０円ずつ貯金した時の日数になります。
（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～
【問題２】－Ｒ２２２
まず、兄の長方形を黄色でかいてみましょう。Ｒ０２で速さの長方形をかく場合、たてを速さ、横を時間、面積を
距離に決めていたので、たての５６ｍ／分はすぐに入れられると思います。
時間については「始業の４分前についた」と問題にかいてあります。これが横に入るのは確かなのですが、このままではこの「４分」は入れる場所がありません
そこでこの長方形の左はしを出発した７時３１分と考えて、右横にたてに始業のラインを赤色で入れてみましょう。そうすると、黄色の長方形の右はしから始業の赤いラインの間に４分をかきこむことができます。
次に、弟の長方形をかきましょう（青）。弟は兄と同じ７時３１分に出発して始業の１分後に到着したのですから、こちらの長方形は兄の長方形と重ねてかくと７時３１分と始業のラインが利用できそうです。
面積（距離）が兄の長方形と同じで、たての長さ（速さ）が兄の長方形よりも短くなりますから、当然横の長さ
（時間）は兄の長方形よりも長くなります。
始業のラインと、弟の長方形の右はしの間が遅刻した１分になります。忘れないようにかいておきましょう。
弟の長方形のたてにも忘れないように４９ｍ／分とかき込んでおきましょう。
兄の長方形と弟の長方形は面積（家から学校までの距離）が同じですから、お互いはみ出した部分の面積も同じになります。
この図をよく見ると、弟の長方形のはみ出した部分の面積は計算できることに気づきます！
横の長さが、
４＋１＝５（分） － （１）
たての長さが４９ｍ／分ですから面積は、
４９×５＝２４５（ｍ） － （２）
になります。
この面積は兄の長方形のはみ出した部分の面積と等しくなるので、ここにも２４５ｍとかいておきましょう。
こちらの兄の長方形のはみ出した部分のたての長さは次のようにして計算することができます。
５６－４９＝７（ｍ／分） － （３）
そうするとこの長方形の横の長さも計算することができます。
２４５÷７＝３５（分） － （４）
これが兄が歩いた時間になります。
兄は７時３１分に出発し、３５分歩いて学校に着き、その４分後に学校が始まったのですから、始業の時間は次のようにして計算することができます。
７時３１分＋３５分＋４分＝８時１０分
（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～～（＾＾）～
こちらに体験版を用意しましたので、一度チャレンジしてみて下さい。
体験版プリント R-SAMPLE.pdf へのリンク 体験版プリント解答 R-SAMPLEA.pdf へのリンク
一通り練習ができたら、次にこれをミックスしたパターンに挑戦してみましょう。
Ｒ－ミックスプリントもクリアできたら！ ＡＬＬ－ミックスプリントにもチャレンジしてみましょう。
